বর্গম্যট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - উচ্চতর গণিত - উচ্চতর গণিত – ১ম পত্র | | NCTB BOOK

বিপরীত ম্যাট্রিক্সের শর্ত

১. নির্ণায়ক শূন্য না হওয়া:
একটি বর্গম্যট্রিক্সের বিপরীত থাকতে হলে এর নির্ণায়ক শূন্য হওয়া যাবে না। অর্থাৎ, যদি $|A| = 0$ $∣$ $A$ $∣$ $=$ $0$ হয়, তাহলে $A$ $A$ -এর কোনো বিপরীত ম্যাট্রিক্স থাকবে না, এবং তাকে সিংগুলার (Singular) ম্যাট্রিক্স বলা হয়।

২. বিপরীত ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্য:
$(A^{-1})^{-1} = A$ $($ $A$ $-1$ $)$ $-1$ $=$ $A$ এবং $(A \times B)^{-1} = B^{-1} \times A^{-1}$ $($ $A$ $\times$ $B$ $)$ $-1$ $=$ $B$ $-1$ $\times$ $A$ $-1$ ।

বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ের পদ্ধতি

১. সহগুণক এবং অনুরাশি ব্যবহার করে বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় (Cofactor and Adjoint Method)

একটি $n \times n$ $n$ $\times$ $n$ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত নির্ণয়ের জন্য নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করতে হয়:

সহগুণক ম্যাট্রিক্স বের করা (Cofactor Matrix):
প্রতিটি উপাদানের সহগুণক বের করে সহগুণক ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে হয়।
অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স নির্ণয় (Adjugate Matrix):
সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ নিলে অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়।
বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়:
নির্ণায়ক শূন্য নয় এমন ম্যাট্রিক্সের জন্য বিপরীত ম্যাট্রিক্স $A^{-1}$ $A$ $-1$ বের করা যায়:
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \times \text{adj}(A)$ $A$ $-1$ $=$ $∣$ $A$ $∣1$ $$ $\times$ $adj$ $($ $A$ $)$
এখানে $|A|$ $∣$ $A$ $∣$ হলো $A$ $A$ -এর নির্ণায়ক এবং $\text{adj}(A)$ $adj$ $($ $A$ $)$ হলো অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স।

উদাহরণ:

ধরা যাক,

A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}

$A$ $=$ $($ $42$ $$ $76$ $$ $)$

ধাপ ১: নির্ণায়ক নির্ণয়

|A| = (4 \times 6) - (7 \times 2) = 24 - 14 = 10

$∣$ $A$ $∣$ $=$ $($ $4$ $\times$ $6$ $)$ $-$ $($ $7$ $\times$ $2$ $)$ $=$ $24$ $-$ $14$ $=$ $10$

ধাপ ২: সহগুণক ম্যাট্রিক্স বের করা

প্রতিটি উপাদানের জন্য অনুরাশি বের করে এবং সহগুণক চিহ্ন প্রয়োগ করে, আমরা পাই:

\text{Cofactor Matrix} = \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}

$Cofactor Matrix$ $=$ $($ $6-2$ $$ $-74$ $$ $)$

ধাপ ৩: অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স নির্ণয়

সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ নিলে পাই:

\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -7 & 4 \end{pmatrix}

$adj$ $($ $A$ $)$ $=$ $($ $6-7$ $$ $-24$ $$ $)$

ধাপ ৪: বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়

A^{-1} = \frac{1}{|A|} \times \text{adj}(A) = \frac{1}{10} \times \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -7 & 4 \end{pmatrix}

$A$ $-1$ $=$ $∣$ $A$ $∣1$ $$ $\times$ $adj$ $($ $A$ $)$ $=$ $101$ $$ $\times$ $($ $6-7$ $$ $-24$ $$ $)$ $= \begin{pmatrix} 0.6 & -0.2 \\ -0.7 & 0.4 \end{pmatrix}$ $=$ $($ $0.6-0.7$ $$ $-0.20.4$ $$ $)$